varianssia

Varianssi on tilastollinen mitta, joka kuvaa satunnaismuuttujan tai aineiston hajontaa suhteessa sen keskiarvoon. Se kertoo, kuinka suuria poikkeamia arvoilla on keskiarvon ympärillä. Varianssi on neliöissä mitattu hajonta, mikä tekee sen tulkinnasta ja yksiköistä erilaisia kuin alkuperäisen muuttujan hajonta.

Populaation varianssi Var(X) määritellään odotusarvon μ = E[X] kautta: Var(X) = E[(X − μ)^2] = E[X^2] − μ^2. Näytteeseen perustuva varianssi s^2 määritellään usein otokselle x1, x2, ..., xn seuraavasti: s^2 = (1/(n−1)) Σ (x_i − x̄)^2, jossa x̄ on otoksen keskiarvo. Siten populaation varianssi ja näytteen varianssi liittyvät toisiinsa niin, että s^2 on tavoitellulla tavalla epäyhtenäinen estimointi Var(X):n. Varianssi on aina ei-negatiivinen, ja se on nolla vain, kun muuttuja on käytännössä vakio.

Ominaisuudet: Var(aX + b) = a^2 Var(X). Jos kaksi muuttujaa X ja Y ovat riippumattomia, Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y); yleisemmin Var(Σ X_i) = Σ Var(X_i) + 2 Σ Cov(X_i, X_j). Varianssilla on yhteys keskihajontaan: SD = sqrt(Var).

Sovellukset: Varianssia käytetään kuvaamaan epävarmuutta, riskiä ja hajontaa monissa tilasto- ja data-analyysissä. Otoskeskiarvon hajonta pienenee kuin n kasvaa, Var(x̄) = Var(X)/n, mikä liittyy keskiarvon estimoinnin tarkkuuteen. Central Limit Theoremin kautta otoskeskiarvon jakauma lähestyy normaalijakaumaa suurilla otoksilla.