toedelingen

Toedeling, in de wiskunde vaak aangeduid als functie, is een relatie die elk element van een domein A precies één element van een codomein B toewijst. Formeel is een toedeling f van A naar B een subset van A × B met de eigenschap dat voor elk a in A er precies één b in B bestaat waarvoor (a, b) in f. Het domein van f is A, het codomein is B, en het beeld (of verzamelde waarden) is het geheel van alle f(a) met a in A.

Een toedeling kan total of partieel zijn. Een totale toedeling is gedefinieerd voor elk element van het domein; een partiële toedeling kan ongedefinieerde elementen bevatten, meestal gedefinieerd op een deelverzameling van A. De grafiek van een toedeling f is de verzameling van paren {(a, f(a)) | a in A} in de cartesische product A × B.

Notatie en types. Een toedeling wordt vaak geschreven als f: A → B en men spreekt van f(a) als de waarde van a onder f. Toedelingen kunnen verschillende eigenschappen hebben: injectief (injektief) betekent dat verschillende a in A verschillende f(a) hebben; surjectief (op) betekent dat elk element van B als waarde voorkomt; bijectief betekent zowel injectief als surjectief, en heeft f een inverse f⁻¹: B → A.

Voorbeelden. De toedeling f: N → N met f(n) = n + 1 is total en injectief maar niet surjectief op N. Een toedeling g: {a, b, c} → {1, 2, 3} met g(a) = 1, g(b) = 2, g(c) = 3 is bijectief. Toedelingen worden veel gebruikt in wiskunde, informatica en toepassingen zoals data-analyse en programmering (mappingen, dictionaries).