spänningstensor

Spänningstensor, ofta kallad Cauchy-spänningstensor, är en andra ordningens tensor som beskriver de inre krafterna per ytenhet som verkar över ett plan i ett material i vila eller i rörelse. Den fångar hur interna krafter distribueras i olika riktningar och ligger till grund för hur materialet reagerar på belastningar.

Traction på ett plan med normalvektor n ges av t = σ · n, där t är trycket per ytenhet i planet och σ är spänningstensor. I komponentform är t i riktning i lika med t_i = σ_ij n_j (summation över j). σ_ij beskriver kraftens j-till yttre yttre kant i riktning i. Spänningstensor är i allmänhet symmetrisk (σ_ij = σ_ji) i klassisk kontinuitetmekanik utan momentkällor, vilket följer av balans av vridmoment.

I ett fixed koordinatsystem kan σ skrivas som en 3×3-matris med komponenter σ_xx, σ_xy, σ_xz, σ_yx, σ_yy, σ_yz, σ_zx, σ_zy, σ_zz. Den normala delen av spänningen jämnas ut med avlastningen på planet (normalspänningar) och den inåtriktade delen med skjuvspänningar. Spänningstensor kan delas upp i en hydrostatisk del och en deviatorisk del: σ = -p I + s, där p = - (1/3) tr(σ) är den hydrostatiska trycket och s är en spänningstensor med noll spår.

I isotrop materiallära följer konstitutiva relationer som kopplar σ till töjningen ε, till exempel σ = λ tr(ε) I + 2 μ ε, där λ och μ är Lame-parametrar. För E och ν ges motsvarande relationer mellan elasticitetsmodulerna.

Egenskaperna hos σ används i ekvationer för jämvikt, div σ + f = ρ a, där f är kroppskraft och a är acceleration. Principspänningar är eigenvärden av σ och ger direkta mått på spänningsståndet i vissa inriktningar. Spänningstensor används inom konstruktion, geomekanik och materialvetenskap för att analysera belastningar, boltningar och sprickbildning.