sousmonoïde

Un sous-monoïde d'un monoïde M est un sous-ensemble H ⊆ M qui contient l’élément identité et qui est fermé pour l’opération du monoïde. Autrement dit, H est lui-même un monoïde sous l’opération de M, avec le même élément identité.

Propriétés et constructions. L’intersection de n’importe quelle famille de sous-monoïdes de M est un sous-monoïde de M. Ainsi, les sous-monoïdes de M forment une structure en réseau par inclusion, et pour une famille S de M, le sous-monoïde engendré par S, noté ⟨S⟩, est le plus petit sous-monoïde contenant S. Il consiste en tous les produits finis d’éléments de S et de l’identité.

Exemples. Dans le monoïde additif des entiers naturels (N, +) avec l’identité 0, les sous-monoïdes sont exactement les ensembles d’éléments de la forme dN = {0, d, 2d, …} pour un entier d ≥ 0. Dans le monoïde additif (Z, +), les sous-monoïdes sont les groupes d’angles nZ (n ≥ 0). Dans le monoïde multiplicatif (N, ×) avec identité 1, on obtient des sous-monoïdes qui contiennent 1 et sont fermés sous la multiplication, par exemple les ensembles générés par un ensemble donné de nombres.

Relation avec les groupes. Si le monoïde est un groupe, tout sous-monoïde qui est fermé sous l’inverse devient un sous-groupe. En général, un sous-monoïde d’un groupe peut ne pas être un sous-groupe, car il n’est pas nécessairement fermé sous l’inverse.

Applications et variantes. Le concept apparaît dans l’étude des structures algébriques simples, des langages formels (dans les monoidnes libres, un sous-monoïde correspond à un sous-langage fermé sous la concaténation) et dans la théorie des idéaux dans les monoïdes.