monoïde

Un monoïde est une structure algébrique constituée d’un ensemble M muni d’une opération binaire • : M × M → M et d’un élément identité e ∈ M tel que, pour tout a, b, c ∈ M, on ait l’associativité (a • b) • c = a • (b • c) et e • a = a • e = a. L’existence d’un inverse n’est pas exigée ; si chaque élément possède un inverse, le monoïde est un groupe.

Exemples: les entiers naturels N munis de l’addition et de l’identité 0, ou de la multiplication et de l’identité 1; l’ensemble des chaînes sur un alphabet A avec la concaténation et la chaîne vide comme identité; l’ensemble des endomorphismes d’un ensemble X avec la composition; le monoïde libre X* sur X (ensemble de toutes les chaînes finies sur X, avec la concaténation).

Propriétés et notions associées: un sous-monoïde est un sous-ensemble qui contient l’identité et est fermé pour l’opération. Un homomorphisme de monoïdes f:M → N préserve l’opération et envoie l’identité de M sur celle de N. Les monoïdes peuvent être présentés par générateurs et relations; le monoïde libre sur X est X*. Un résultat fondamental est le théorème de Cayley pour les monoïdes: tout monoïde s’injecte dans le monoïde des endomorphismes de son ensemble par multiplication à gauche, via a ↦ (x ↦ a • x).

Cadre et applications: en théorie des catégories, un monoïde peut être vu comme un objet muni d’un produit et d’une unité satisfaisant les axiomes correspondants dans une catégorie monoidale. Les monoïdes jouent un rôle central en informatique théorique (automates et langages formels), en combinatoire et en algèbre générale.