homomorphisme

Un homomorphisme est une application entre deux objets algébriques qui préserve l opération qui définit leur structure. Si G et H sont munis d une même type d opération binaire (par exemple la multiplication dans un groupe, l Addition dans un espace vectoriel, ou les deux dans un anneau), alors une application f : G → H est un homomorphisme lorsque, pour tout x et y de G, on a f(x ⋅ y) = f(x) ⋅ f(y), où ∘ et ∘' indiquent les opérations dans G et H respectivement. Pour les groupes, cela se formule souvent f(xy) = f(x)f(y); pour les groupes additifs, f(x + y) = f(x) + f(y); pour les anneaux, f(a + b) = f(a) + f(b) et f(ab) = f(a)f(b).

Les homomorphismes préservent aussi l identité et les inverses dans le cadre des groupes: f(e_G) = e_H et f(g^{-1}) = f(g)^{-1}. Ils permettent de comparer des structures et de transférer des propriétés d’un objet à un autre.

Parmi les notions associées figurent le noyau et l image: ker(f) = { g ∈ G | f(g) = e_H } et im(f) = { f(g) | g ∈ G }. Le noyau est un sous-groupe normal de G et l image un sous-groupe de H. Le théorème le plus utile est le premier théorème d’iso­morphisme: G/ker(f) est isomorphe à im(f).

Les types courants incluent les homomorphismes injectifs (ker(f) est trivial), surjectifs (im(f) = H) et les isomorphismes (bijectifs et préservant la structure). Les automorphismes et les applications entre structures similaires en constituent des exemples typiques.

Exemples simples: f : Z → Z, f(n) = 2n est un homomorphisme de groupes; ker(f) = {0}, im(f) = 2Z. En anneaux, la réduction modulo n, f : Z → Z/nZ, est un homomorphisme surjectif dont le noyau est nZ.