skalärfält

Skalärfält är en funktion som tilldelar varje punkt i ett område ett enda reellt tal. Om området är i tre-dimensionellt rum skrivs f(x,y,z); i två dimensioner skrivs f(x,y). Skalärfält kan vara tidsberoende, f(x,y,z,t), vilket då beskriver hur värdet vid varje plats förändras över tid. I fysik och geovetenskaper används ofta skalärfält för att modellera storheter som temperatur eller tryck.

Exempel på skalära fält är temperaturfältet i ett rum, höjden över jordens yta eller den elektriska potentialen φ(x). Dessa fält beskrivs av funktioner som varierar över plats.

Egenskaper: Ett skalärfält kan vara kontinuerligt eller differentierbart. Om f är differentierbar har man gradienten ∇f, ett vektorvärdefält som pekar i riktningen för snabbaste ökningen av f och vars längd motsvarar förändringen per enhets längd i den riktningen. Den negativa gradienten pekar i riktningen för största nedgång.

Viktiga operationer inkluderar gradienten, divergensen av ett vektorfält och Laplacianen. Laplacianen ∇²f är divergensen av gradienten och används i problem som rör värmeledning, potentialteori och vågor. Integraler längs kurvor av gradienten ger skillnaden i f mellan två punkter.

Relation till vektorfält: Ett skalärfält f ger upphov till ett konservativt vektorfält F = ∇f. Om F är konservativ gäller att cirkulationen längs en sluten kurva är noll.

Användning: Skalärfält används inom meteorologi, fysik, geovetenskap och matematisk analys för att beskriva bland annat temperatur, tryck, höjd och elektrisk potential.