sannolikhetsmatrisen

Sannolikhetsmatrisen, ofta kallad transition probability matrix på engelska, är en kvadratisk matris som används inom sannolikhetsteori och statistik för att beskriva övergångar i diskreta tidssteg i en Markov-kedja. Varje rad i matrisen motsvarar ett nuvarande tillstånd och varje kolumn ett nästa tillstånd; elementet Pij är sannolikheten att gå från tillstånd i till tillstånd j i ett tidssteg. Alla värden är mellan 0 och 1, och summan av varje rad är 1, vilket gör matrisen row-stochastic.

Egenskaper och tolkning: sannolikhetsmatrisen anger hur systemet kan röra sig mellan tillstånd över tid. En kedja med en given sannolikhetsmatris P upprepade gånger multiplicerad med startfördelningen beskriver sannolikhetsfördelningen av tillstånd efter n steg genom att använda Pn. Om kedjan är irreducibel och aperiodisk konvergerar P^n mot en matris där varje rad är lika och motsvarar den stationära fördelningen π, som uppfyller πP = π och sum(π) = 1.

Användning och beräkningar: sannolikhetsmatrisen används för att beräkna n-stegs övergångar, analysera långsiktigt beteende och studera absorption, återgångs- och uppdelningsegenskaper i kedjan. Den är central i modellering av system där framtida tillstånd endast beror på nuvarande tillstånd (Markov-egenskapen). Beräkningar kan utföras genom manuell matrismultiplikation, diagonalisation eller numeriska metoder.

Exempel: för två tillstånd A och B kan en övergångsmatris vara P = [[0.7, 0.3], [0.4, 0.6]], där varje rad summerar till 1. Den beskriver sannolikheten att växla mellan A och B i ett tidssteg.