sandsynlighedsmatrix

Sandsynlighedsmatrix, eller transition probability matrix, er en kvadratisk matrix hvor elementet Pij angiver sandsynligheden for at gå fra tilstands i til tilstanden j i en Markov-kæde. Rækkerne i en sandsynlighedsmatrix summerer til 1, og alle elementer er ikke-negative. Den mest almindelige konvention er en række-stokastisk matrix, hvor distributionen over tilstande opdateres som en rækkevektor πt: πt+1 = πt P. Der findes også kolonne-stokastiske formuleringer, hvor kolonne-summerne = 1 og opdateringen sker via x_{t+1} = P^T x_t.

To centrale begreber er tidshomogenitet og stationær fordeling. En tidshomogen sandsynlighedsmatrix har samme P ved alle tidspunkter; i tidsskovende tilfælde kan P afhænge af t. En stationær fordeling π opfylder π = πP og Σi πi = 1. Under visse forhold (f.eks. irreducibilitet og aperiodicitet) konvergerer P^n mod en matriks, der svarer til den stationære fordeling.

Egenskaber og beregning. P er ikke-negativ og har rækker, der summerer til 1. Dette giver mulighed for at modellere sandsynligheder for at bevæge sig mellem tilstande over tid. Den lange tids adfærd beskrives ofte ved at finde den stationære fordeling ved løsning af π = πP eller ved at analysere eigenværdier: værdien 1 er en definiende eigenværdi for en irreducibel, stokastisk matrix.

Anvendelser spænder fra Markov-kæder og stokastiske processer til køteori, genetiske modeller og økonomiske processer. Eksempelvis kan et 2x2 P være [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]], hvor rækkerne angiver sandsynlighederne for at blive i eller skifte til den andre tilstand.