quaternionische

Quaternions, im Deutschen oft als quaternionische Zahlen bezeichnet, sind ein Zahlensystem, das die reellen Zahlen mit drei zusätzlichen imaginären Einheiten erweitert. Eine Quaternion q lässt sich schreiben als q = a + b i + c j + d k, wobei a,b,c,d in R liegen und die Grundregeln i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 gelten. Die Produkte der Einheiten folgen nicht-kommutativ: ij = k, ji = -k; jk = i, kj = -i; ki = j, ik = -j. Damit bilden sie eine vierdimensionale, echte Divisionalgebra über den reellen Zahlen, deren Multiplikation assoziativ ist.

Die Norm N(q) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 liefert die Größe eines Quaternions, und N(qr) = N(q) N(r). Das konjugierte Quaternion q* = a - b i - c j - d k erfüllt q q* = q* q = N(q). Für q ≠ 0 gilt das Inverse q^{-1} = q* / N(q).

Geometrisch codieren Einheitsquaternionen q mit |q| = 1 eine Rotation im dreidimensionalen Raum. Eine Rotation um eine Einheitsachse u = (u1,u2,u3) um den Winkel θ wird durch q = cos(θ/2) + u sin(θ/2) dargestellt, und die Rotation eines Vektors v erfolgt durch v' = q v q^{-1}, wobei v als rein imaginäres Quaternion geschrieben wird (0, v).

Historisch wurden Quaternions 1843 von William Rowan Hamilton eingeführt. Sie fanden breite Anwendung in der 3D-Geometrie, Computergraphik, Robotik, Luft- und Raumfahrt sowie in der Animation und Orientierungstechnik. Verwandte Strukturen sind Biquaternionen (komplexisierte Quaternions) und Clifford-Algebren; Quaternions stehen zudem in enger Beziehung zu SU(2) und zur Rotationsgruppe SO(3).