periodicité

Periodicité désigne la propriété d'un phénomène de se répéter à intervalles réguliers ou selon un motif répétitif. Dans les mathématiques et les sciences, elle concerne souvent les fonctions ou les suites qui reprennent une même valeur ou un même comportement après un décalage fixe. On parle de période T > 0 lorsque f(x+T) = f(x) pour tout x de leur domaine. Si une telle valeur existe et est la plus petite positive, on parle de période fondamentale.

Exemples: les fonctions trigonométriques sin et cos ont une période fondamentale de 2π. Une fonction ne peut être périodique que si elle est définie sur un intervalle qui peut être translater par T et préserver les valeurs. En revanche, les fonctions exponentielles classiques ne sont pas périodiques, sauf dans le cas trivial où la fonction est constante.

Applications et domaines: en traitement du signal et en physique, les signaux périodiques peuvent être décomposés en séries de Fourier, ce qui éclaire leur spectre; en astronomie, les périodes orbitales caractérisent le temps nécessaire à une planète pour accomplir une révolution; en chimie, la périodicité des propriétés des éléments s’observe dans le tableau périodique.

Détermination et variantes: pour une fonction continue, on cherche le plus petit T > 0 tel que f(x+T)=f(x) pour tout x; pour les suites, le plus petit entier p tel que a_{n+p}=a_n pour tout n. Si aucune période n’existe, la fonction ou la suite n’est pas périodique.

Extensions: quasi-périodicité et presque périodicité décrivent des motifs qui se répètent de façon non exactement régulière; on distingue périodique (exact) de quasi-périodique ou presque périodique.