oriënteerbaar

Oriënteerbaar is een term uit de topologie en meetkunde die verwijst naar de mogelijkheid om een consistente oriëntatie aan een ruimte te geven. In het bijzonder beschrijft het of een variëteit of randgeoriënteerde ruimte een wereldwijde keuze van richting heeft die op elk punt van de ruimte kan worden voortgezet zonder tegenstrijdigheden.

Definitie en belangrijkste eigenschappen. Een variëteit M is oriënteerbaar als er een atlas bestaat met overgangsfuncties tussen lokalisaties met determinerende factoren positief, of equivalenter: er bestaat een nowhere-vanishing top-dimensionale differentiaalvorm op M, wat inhoudt dat de oriëntatie van de raakruimtes langs elke pad consistent kan worden voortgezet. Een praktischer criterium op oppervlakken is: een twee-dimensionale variëteit is oriënteerbaar als en slechts als het geen Möbiusband bevat. Voor hogere dimensies geldt deze intuïtie via de top-dimensionale oriëntatie en de structuurgroep GL(n, R) die kan worden gereduceerd tot GL^+(n, R).

Voorbeelden en niet-voorbeelden. Sferen en tori zijn oriënteerbaar (bijv. S^2, S^1×S^1). Een Möbiusband, het projectieve vlak en de Kleinbv zijn niet-orienteerbaar. Een annulus (ringvorm) is oriënteerbaar, omdat het lokaal een zwevende orientatie toestaat die globaal consistent blijft.

Belang en toepassingen. Oriëntatie is fundamenteel voor integraalrekening op variëteiten, bijvoorbeeld bij integreren van differentialvormen en bij de definitie van hoedanigheden zoals de graad van een kaart of intersectiegetallen. In praktische termen is oriënteerbaar vaak een voorwaarde om sign-gevoelige constructies goed te kunnen definiëren.

Zie ook. orientatie, oriënteerbaarheid, orientatieve variëteit, Möbiusband, projectieve vlakken, Klein bottle.