multiresolutieanalyse

Multiresolutieanalyse (MRA) is een wiskundig kader voor het analyseren van signalen en beelden op meerdere schalen. Het organiseert data in een hiërarchie van steeds fijnere resoluties via een netwerk van gesloten deelruimten van L^2(R). Het doel is om representaties te verkrijgen die zowel lokalisatie in tijd als in frequentie mogelijk maken.

De kern van MRA is een keten van gesloten subruimten V_j (j in Z) met V_j ⊆ V_{j+1} die representaties op verschillende schalen mogelijk maken. Er bestaat een schaalfunctie φ zodat de set φ_{j,k}(x) = 2^{j/2} φ(2^j x − k) een orthonormaal basis vormt voor V_j. De ruimte W_j is de orthogonale aanvulling van V_j in V_{j+1}; hiermee geldt V_{j+1} = V_j ⊕ W_j. Daarmee kan L^2(R) worden gerepresenteerd als de som van de V_j en de W_j over alle schalen.

Een wavelet ψ genereert de W_j: W_j = span{ψ_{j,k}(x) = 2^{j/2} ψ(2^j x − k)}. De scaling φ en wavelet ψ voldoen aan de dilatie-operatoren φ(x) = √2 ∑ h[k] φ(2x − k) en ψ(x) = √2 ∑ g[k] φ(2x − k), waarbij h en g de low-pass en high-pass filters zijn (quadrature mirror filters).

Multiresolutieanalyse ligt ten grondslag aan de golfmeting (wavelet transform). Een belangrijke toepassing is de reconstructie van signalen met minder data terwijl belangrijke details behouden blijven. De DWT gebruikt MRA om bij elke schaal zowel de schalen- als detailcomponent te verkrijgen. In beeldverwerking wordt het concept gebruikt in compressie en ruisonderdrukking (bijv. JPEG 2000).

Historisch gezien werd het formele kader van MRA verder uitgewerkt door Stéphane Mallat en Yves Meyer in de jaren tachtig, met cruciale bijdragen van Ingrid Daubechies. Het concept heeft sindsdien brede toepassingen in signaal- en beeldverwerking, numerieke analyse, en data-analyse.