monotônicas

Las monotónicas son conceptos en matemáticas que describen objetos que preservan el orden. Se aplican a funciones y a secuencias. Una función f, definida en un intervalo de números reales, se dice monotónica si, para todo x y y en su dominio con x ≤ y, se cumple f(x) ≤ f(y) (monotónica creciente) o f(x) ≥ f(y) (monotónica decreciente). Si las desigualdades permiten ser no estrictas, se dice que la función es monotónica; si son estrictas, se habla de monotónica estricta (estrictamente creciente o estrictamente decreciente).

En secuencias, una sucesión (a_n) es monotónica cuando es no decreciente (a_{n+1} ≥ a_n para todo n) o no creciente (a_{n+1} ≤ a_n para todo n). Si las desigualdades son estrictas, se habla de una secuencia estrictamente monotónica.

Propiedades: las funciones monotónicas en un intervalo cerrado tienen límites por cada extremo de cada punto interior y son de variación total acotada. Además, una función monotónica es diferenciable casi en todas partes, aunque puede presentar discontinuidades de salto; el conjunto de discontinuidades de una función monotónica es a lo sumo numerable.

Convergencia: toda secuencia monotónica acotada converge a un límite. En contextos más amplios, la monotonicidad se generaliza a funciones sobre órdenes parciales y a funciones en varias variables, donde se habla de funciones isotónicas.

Aplicaciones y uso: la noción se emplea en análisis real, cálculo, optimización y teoría de la medida para describir comportamientos ordenados, límites y variación en modelos matemáticos y en ciencias aplicadas.