monotonicidad

La monotonicidad, o monotonicidad, es una propiedad de funciones, secuencias y mapas de orden que conservan o invierten el orden natural. En el sentido de funciones reales, se habla de monotonicidad creciente, decreciente o estricta. Una función f definida en un intervalo D ⊆ R es monotónica creciente si x1 ≤ x2 implica f(x1) ≤ f(x2) para todo x1, x2 en D. Si la desigualdad es estricta cuando x1 < x2, se dice que f es estrictamente creciente. De manera análoga, f es monotónica decreciente si x1 ≤ x2 implica f(x1) ≥ f(x2). Las variantes no estrictas se llaman no decreasing (no decreciente) y no increasing (no creciente).

En el ámbito de secuencias, una sucesión (a_n) es monotónica creciente si a_n ≤ a_{n+1} para todo n, y monotónica decreciente si a_n ≥ a_{n+1}. Si está acotada, una sucesión monotónica converge: una creciente acotada converge a su supremo, una decreciente acotada converge a su mínimo. En general, una sucesión monotónica no necesariamente acotada diverge a ±∞.

Propiedades importantes: una función monotónica en un intervalo cerrado [a, b] es acotada. Además, las funciones monotónicas en R tienen solo discontinuidades de salto y su conjunto de discontinuidades es a lo sumo contable; en cada punto x existen límites laterales f(x−) y f(x+).

En teoría de órdenes, una mappa es monotónica (o invariante respecto al orden) si x ≤ y implica f(x) ≤ f(y). La monotonicidad es una noción central en análisis real, optimización y economía, donde facilita el estudio de límites, variaciones y convergencia.