mitimaginären

Mitimaginären ist kein eigenständiger feststehender Begriff, aber in der Mathematik wird er im Zusammenhang mit komplexen Zahlen verwendet. Komplexe Zahlen bestehen aus einem Realteil und einem Imaginärteil und lassen sich schreiben als z = a + b i, wobei a und b reell sind und i die imaginäre Einheit mit i^2 = -1. Der Realteil ist a, der Imaginärteil ist b, der Ausdruck b i wird oft als Imaginärteil bezeichnet.

Historisch entstanden die imaginären Einheiten im 16. bis 18. Jahrhundert, um Gleichungen höheren Grades zu lösen. Sie wurden schrittweise formalisiert und verfeinert, etwa durch De Moivre, Euler und Gauss, der die Zahlensystematik der komplexen Zahlen als ganzer Körper begriff. Heute gehört die Menge der komplexen Zahlen, mit den Operationen Addition und Multiplikation, zu den fundamentalen mathematischen Strukturen.

Formell kann jede komplexe Zahl als Paar (a, b) interpretiert werden. Addition gilt komponentenweise: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Multiplikation: (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc). Der Komplexe Konjugierte ist z̄ = (a, −b) bzw. a − b i. Der Betrag ist |z| = sqrt(a^2 + b^2) und das Argument φ = arctan2(b, a). Geometrisch lassen sich komplexe Zahlen im Argand-Diagramm auf der komplexen Ebene darstellen, wobei der Realteil die horizontale und der Imaginärteil die vertikale Achse angibt.

Anwendungen finden sich in der Lösung von Gleichungen, Signalverarbeitung, Fourier-Transformation, Quantenmechanik und Regelungstechnik. Reelle Zahlen entsprechen dem Spezialfall mit b = 0; rein imaginäre Zahlen entsprechen a = 0. Der Begriff betont often den Anteil des Imaginären in einer Zahl oder einem Ausdruck.