Imaginären

Imaginäre Zahlen sind in der Mathematik komplexe Zahlen mit reinem Imaginärteil, also Zahlen der Form bi, wobei b reell ist und i die imaginäre Einheit ist, definiert durch i^2 = -1. Jedes komplexe Zahl z lässt sich eindeutig schreiben als z = a + bi mit a, b ∈ R. Die rein imaginäre Teilmenge bildet die imaginäre Achse im komplexen Zahlenplan; Multiplikation mit i entspricht einer 90-Grad-Drehung.

Historischer Kontext: Die Notwendigkeit imaginärer Zahlen entstand bei der Lösung von Gleichungen wie x^2 + 1 = 0. Der Begriff imaginär wurde von René Descartes geprägt; die Entwicklung der Theorie wurde von Mathematikern wie Euler und Gauss wesentlich vorangetrieben.

Eigenschaften und Struktur: Die Summe zweier rein imaginärer Zahlen ist rein imaginär; das Produkt zweier rein imaginärer Zahlen ist reell. Reelle Zahlen lassen sich zu komplexen Zahlen a + bi kombinieren, wodurch die komplexe Ebene entsteht. Die imaginäre Einheit i erweitert die reellen Zahlen zu einem vollständigen Zahlensystem, in dem alle Polynome gelöst werden können.

Anwendungen: Imaginary Zahlen ermöglichen das Lösen quadratischer Gleichungen mit nicht-realen Lösungen, sie erleichtern die Beschreibung von Schwingungen, Signalen und Wellen in der Technik, finden Anwendung in der Fourier-Analyse, Quantenmechanik und der Lösung von Differentialgleichungen.