minimivärde

Minimivärde är det lägsta värdet som en funktion f når på en given domän D. Om detta lägsta värde uppnås av ett x i D kallas det det globala minimivärdet, och x är minimipunkt eller argmin (de inputvärden som ger minimivärdet). Det finns även begreppet lokalt minimivärde, vilket är värdet i en punkt där f(x) är mindre än i en omgivning, men inte nödvändigt globalt minsta över hela D.

Existens och begränsningar: Om domänen D är kompakt och f är kontinuerlig så uppnås ett globalt minimivärde (Weierstrass sats). Om D inte är kompakt kan ett minimivärde saknas även om funktionen är välbetecknad eller bunden nedåt. Begreppet infimum används när man talar om det största nedre skäret för ett värde som kanske inte uppnås.

Differentialistik och klassificering: För differentiella funktioner kan lokala minimivärden hittas bland kritiska punkter där derivatan är noll eller inte definierad. Andra derivattester eller Hessian används för att avgöra om en kritisk punkt är lokal minimipunkt. För globalt minimerande krävs ofta ytterligare analys över hela domänen.

Exempel: Funktionen f(x) = (x−3)² har globalt minimivärde 0 vid x = 3. På intervallet [0,5] är minimivärdet fortfarande 0. Funktionen f(x) = sin(x) på [0, 2π] har globalt minimivärde −1 vid x = 3π/2.

Användning: Inom optimering och maskininlärning används minimisering av kostnads- eller förlustfunktioner för att hitta bästa modellparametrar; minimivärdet är värdet av förlustfunktionen vid optimum. Numeriska metoder som gradientnedstigning och Newtons metod används när analytiska lösningar inte är möjliga, särskilt i konvexa problem där globalt minimivärde ofta garanteras.