minimisering

Minimisering är processen att få ett värde så litet som möjligt. Inom matematik och tillämpade vetenskaper används minimisering för att hitta ingångsvärden som minimerar en målfunktion, ofta kallad objektiv- eller kostnadsfunktion. Begreppet står i kontrast till maximering, där man söker största värde.

Formellt letar man efter x i en domän D som minimerar f(x). Ett globalt minimum är ett x* där f(x*) ≤ f(x) för alla x i D. Om det finns flera minimipunkter talar man om icke-unikt minimum. I praktiken talar man ofta om lokala minimipunkter, där f(x) ≤ f(y) för alla y i en närliggande omgivning. Om f är differentiell kan en kritisk punkt uppnås när gradienten ∇f(x*) = 0; lokalt minimum uppfyller även positiva definitet av Hessianen under andra ordningens villkor.

Metoder: Analytiska metoder, som Lagrange-multiplikatorer, används för att minimera under givna lika villkor. Numeriska metoder är vanliga i komplexa problem och inkluderar gradientnedstigning, Newtons metod, quasi-Newton, konjugerad gradient och inre punkter. I konvexa problem är varje lokalt minimum globalt.

Tillämpningar: Minimisering används inom optimering, maskininlärning, signalbehandling, ekonomi och operationsforsknings, där man vill minimera kostnader, fel eller risk. Inom statistik motsvarar nuvarande maximalt sannolikhetsuppskattning ofta en minimisering av en negativ log-likelihood. Inom maskininlärning tränas modeller genom att minimera en förlustfunktion.

Exempel: Minimera f(x) = (x − 3)^2 över x ∈ R. Minimum är x* = 3 och f(x*) = 0.