minimalisatieproblemen

Een minimisatieprobleem is een wiskundig optimalisatieprobleem waarbij het doel is om een besluitvormingsvector x zo te kiezen dat de doelfunctie f(x) minimaal wordt. Minimisatieproblemen komen voor in vele vakgebieden, zoals engineering, economie en machine learning. Ze kunnen zowel zonder beperkingen als met beperkingen zijn, en variëren van eenvoudige lineaire tot complexe niet-lineaire modellen.

De gebruikelijke formulering is: min f(x) onder x te bepalen binnen een haalbare set X. Beperkingen worden vaak aangegeven als g_i(x) ≤ 0 (i = 1,...,m) en h_j(x) = 0 (j = 1,...,p). De variabelen x nemen meestal waarden in R^n, maar discrete of gemengde variabelen komen ook voor.

Typen minimisatieproblemen omvatten lineaire programmering (LP), kwadratische programmering (QP) en algemene niet-lineaire programmering. Bij convexe minimisatie leveren de doelfunctie en de haalbare set samen een uniek globaal minimum op; bij niet-convexe problemen kunnen meerdere lokale minima bestaan. Global vs lokaal is een belangrijk onderscheid.

Oplossingsmethoden omvatten analytische benaderingen zoals de methode van Lagrange-multipliers en de Kuhn-Tucker-voorwaarden voor beperkingen, en numerieke algoritmen zoals gradiëntafdaling, Newton- en quasi-Newtonmethoden. Voor LP en QP bestaan speciale, efficiënte algoritmen zoals de interior-pointmethode of actieve-setmethoden.

Toepassingen reiken van operationele research, logistiek en financiën tot machine learning en engineeringontwerp. De keuze van methode hangt af van de aard van f, de beperkingen en de gewenste garanties (globale versus lokale oplossing).