matrixabhängig

Matrixabhängigkeit bezeichnet in der linearen Algebra die Eigenschaft einer Menge von Vektoren oder der Spalten bzw. Zeilen einer Matrix, dass sie linear abhängig sind. Das bedeutet, es existiert eine nicht triviale Linearkombination der Spalten, die den Nullvektor ergibt; analog gilt dies auch für die Zeilen. Folglich hat die Matrix Rang kleiner als die Anzahl ihrer Spalten bzw. Zeilen.

Für eine Matrix A heißt matrixabhängig, dass ihre Spalten (oder Zeilen) linear abhängig sind. In diesem Fall ist A nicht invertierbar, und der Rang von A ist kleiner als die Anzahl der Spalten bzw. Zeilen. Bei quadratischen Matrizen gilt equivalentermaßen: A ist matrixabhängig bzw. singulär, wenn det(A) = 0.

Zur Feststellung von Matrixabhängigkeit dienen verschiedene Kriterien: Der Rang der Matrix kann durch Gauss- oder Zeilenreduktion bestimmt werden; ist der Rang kleiner als die Anzahl der Spalten, sind die Spalten linear abhängig. Bei quadratischen Matrizen kann auch die Determinante berechnet werden; ist sie null, liegt Matrixabhängigkeit vor. Ebenso lässt sich eine nicht-triviale Lösung der Gleichung A x = 0 finden.

Beispiele verdeutlichen das Konzept: Die Matrix [[1, 2], [2, 4]] hat Spalten, die Vielfache voneinander sind, die Determinante ist 0 und sie ist daher matrixabhängig. Im Gegensatz dazu ist [[1, 0], [0, 1]] matrixunabhängig, da ihre Spalten linear unabhängig sind und die Determinante 1 beträgt.

Anwendungen der Matrixabhängigkeit finden sich beim Lösen linearer Gleichungssysteme, bei der Bestimmung von Basis und Dimension des Spaltenraums sowie in der Beurteilung der Invertierbarkeit von Matrizen. SeeAlso: Lineare Unabhängigkeit, Rang, Determinante, singuläre Matrix.