marginalmått

Marginalmått är marginalerna av ett mått på ett produktsmått. Om μ är ett mått på rum X×Y med sigma-algebraerna Σ på X och Τ på Y, definieras marginalmåtten μ_X och μ_Y genom μ_X(A) = μ(A×Y) för A i Σ, och μ_Y(B) = μ(X×B) för B i Τ. De kan också uttryckas som μ_X = μ ∘ π_X^{-1} och μ_Y = μ ∘ π_Y^{-1}, där π_X och π_Y är projektionerna på X respektive Y.

Marginalmåtten beskriver fördelningen av varje enskild koordinat i produkten. De existerar och är unikt bestämda av μ. Om μ är ett sannolikhetsmått så är μ_X och μ_Y också sannolikhetsmått (och om μ har densitet kan marginalerna fås genom integrering).

I sannolikhet används marginalmått ofta när man vill beskriva distributionen av X eller Y oberoende av varandra. Om (X,Y) har en gemensam fördelning μ, är μ_X och μ_Y dess marginalfördelningar. Om μ har en gemensam tätningsfunktion f_{X,Y}, erhålles marginaltätningarna genom f_X(x) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dy och f_Y(y) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dx.

Viktiga observationer är att marginalmått inte innehåller information om beroendet mellan X och Y; olika gemensamma mått kan ha samma marginals. Exempelvis kan två olika kopplingar mellan X och Y ge upphov till identiska marginalfördelningar. Vidare används begreppet marginalmått i samband med disintegration och konditionala mått för att beskriva hur måttet fördelas när ett av variablerna observeras.