manifoldMethoden

ManifoldMethoden bezeichnet in der Mathematik eine Gruppe von Verfahren, die die Struktur von Mannigfaltigkeiten nutzen, um Probleme in Geometrie, Analysis, Physik und verwandten Bereichen zu behandeln. Der Begriff wird auch in der Data-Science-Literatur verwendet, wo er sich auf Verfahren zur Erkennung und Nutzung nichtlinearer, niedrigdimensionaler Strukturen in hochdimensionalen Datensätzen bezieht.

In der Differentialgeometrie dienen manifoldMethoden dazu, globale Objekte aus lokalen Daten zu konstruieren. Zentrale Konzepte sind Koordinatendiagramme (Charts) und Atlanten, Tangentialräume, differenzierbare Abbildungen, Tensorfelder, Verbindungen und Krümmung. Methoden umfassen das Arbeiten mit lokalen Chart-Koordinaten, das Verwenden von Strukturen wie Vektorbündeln sowie Techniken zur Integration und Transformation von Formen.

Im Bereich des maschinellen Lernens und der Datenanalyse werden manifoldMethoden als Manifold Learning bezeichnet. Ziel ist es, Hochdimensionalität zu reduzieren, ohne wesentliche Strukturen der Daten zu verlieren. Bekannte Verfahren umfassen Isomap, lokale lineare Einbettung (LLE), Laplacian Eigenmaps, t-SNE und UMAP. Diese Algorithmen basieren typischerweise auf Nachbarschaftsbeziehungen und graphbasierten oder spektralen Methoden. Vorteile sind die Fähigkeit, nichtlineare Strukturen abzubilden; Nachteile umfassen Skalierbarkeit, Parameterwahl und Interpretierbarkeit.

Die Relevanz von manifoldMethoden zeigt sich in Bereichen wie Robotik, Computer Vision, theoretischer Physik und Statistik, wo sowohl geometrische Einbettungen als auch datengestützte Modelle eine Rolle spielen.