maksimointi

Maksimointi tarkoittaa toimintaa, jossa etsitään muuttujien arvoista sellainen asetus, jolla jokin tavoitefunktion arvo on mahdollisimman suuri. Tavoitefunktio voi kuvata esimerkiksi voittoa, hyötyä tai suorituskykyä, ja siihen liittyy usein rajoitteita kuten budjetti, resurssit tai säännöt.

Matemaattisesti maksimoiminen voidaan jakaa ei-rajoitettuun maksimoimiseen ja rajoitettuun maksimoimiseen. Ei-rajoitetussa tapauksessa etsit x:n, jolla f(x) on suurin. Rajoitetussa tapauksessa maksimoidaan f(x) kun g_i(x) = 0 tai h_j(x) ≤ 0, ja sallittu alue määräytyy näiden ehtojen mukaan. Tavoitefunktio ja rajoitteet määrittävät ongelman muodollisesti.

Menetelmät vaihtelevat ongelman luonteen mukaan. Diferentiaalilaskennallisesti, jos f on derivoituva, etsitään kriittiset kohdat gradientin nollakohdista ja tarkastellaan toisen kertaluvun ehtoja. Rajoitetussa maksimoimisessa hyödynnetään Lagrange-multiplikaattoreita ja KKT-ehdot. Lineaarisissa ongelmissa sekä tavoite- että rajoitteet voivat olla lineaarisia, jolloin käytetään lineaarin ohjelmoinnin menetelmiä. Konveksissa tapauksissa paikallinen maksimi on usein globaali, mikä helpottaa ratkaisua.

Sovellukset kattavat taloustieteen, operatiivisen tutkimuksen, insinööritieteen sekä tietojenkäsittelyn ja tekoälyn alueet. Maksimoidaan esimerkiksi voitto, hyöty, resurssien käyttöaste tai suorituskyky tietyissä järjestelmissä.

Haasteet ja rajoitteet liittyvät erityisesti ei-konveksisiin ongelmiin, joissa paikallinen maksimi ei välttämättä ole globaali. Lisäksi ratkaisut voivat vaatia numeerista approximaatiota, ja epävarmuus sekä muuttuvia ympäristötekijöitä on huomioitava.