machtsreeks

Een machtsreeks is een oneindige som van de vorm sum_{n=0}^\infty a_n (x - c)^n, waarbij c een vast centrum is en a_n de coëfficiënten. De reeks heeft een straal van convergentie R: de som convergeert voor alle x met |x - c| < R, kan divergeren voor |x - c| > R, en op de grens |x - c| = R kan de convergentie variëren.

In het domein van convergentie bepaalt de machtsreeks een functie f(x) = sum_{n=0}^\infty a_n (x - c)^n. Binnen de open schijf met radius R is f analytisch; dit betekent dat f voordeel heeft van termgewijze differentiatie en integratie: f'(x) = sum_{n=1}^\infty n a_n (x - c)^{n-1}, en in het algemeen f^{(k)}(x) = sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1) a_n (x - c)^{n-k} valid voor |x - c| < R.

Een bekend voorbeeld is de meetkundige machtsreeks sum_{n=0}^\infty r^n = 1/(1 - r) voor |r| < 1, met centrum c = 0. Algemeen geldt dat een machtsreeks kan worden aangepast door het centrum c en de coëfficiënten a_n, wat leidt tot vele vormen van geïnduceerde functies.

Taylorreeks: als een functie f analytisch is in een omgeving van c, dan kan zij worden uitgedrukt als f(x) = sum_{n=0}^\infty f^{(n)}(c)/n! (x - c)^n. De coëfficiënten zijn dus de afgeleiden van f op c gedeeld door n!.

Toepassingen omvattenhet benaderen van functies nabij een punt, oplossen van differentiaalvergelijkingen en numerieke reconstructie van functies.