lösningsrum

Lösningsrum är inom matematik uppsättningen av alla lösningar till en given linjär ekvation eller ett system av linjära ekvationer. Vid en homogen ekvation, till exempel Ax = 0, bildar lösningarna ett underutrymme (en subrum) av det domänvektorrum där x lever, exempelvis R^n eller ett funktionsrum. För ett icke-homogent system Ax = b är uppsättningen lösningar oftast ett partiell lösning plus lösningsrummet till den homogena ekvationen; i allmänhet är det ett affint underrum eller tom uppsättning om systemet saknar lösningar.

Dimensionalitet och struktur: Om A har rank r och lösningsrymmet till Ax = 0 har dimensionen n − r, där n är antalet variabler. Lösningarna kan beskrivas genom en bas av det homogona lösningsrummet och fria variabler som ger en parametisk form. För inhomogena system är lösningarna ofta unika upp till tillägg av varje vektor från lösningsrymmet till Ax = 0.

Lösningsrum i differentialekvationer: För linjära differentialekvationer är lösningsrummet till den homogena ekvationen ett vektorrum av funktioner. Det allmänna lösningen till den icke-homogena ekvationen är summan av en partiell lösning och det homogena lösningsrummet. Storleken på lösningsrymmet motsvarar ordningen på differentialekvationen.

Användning: Lösningsrum används inom linjär algebra, analys, kontrollteori, signalbehandling och andra områden där man studerar system av ekvationer och deras beteende. Begreppet speglar hur lösningar bildar strukturer som kan analyseras som vektorutrymmen eller affine rum.