linearità

La linéarité est une propriété d'une application, d'un opérateur ou d'un système qui préserve les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Plus précisément, une application f entre espaces vectoriels V et W sur un corps F est dite linéaire si pour tout x et y dans V et tout scalaire α dans F, on a f(x + y) = f(x) + f(y) et f(αx) = α f(x). Cette définition peut être reformulée comme f(αx + βy) = α f(x) + β f(y) pour tous x, y et tous α, β.

Dans le cadre des opérateurs, la linéarité implique que l’application conserve les combinaisons linéaires. Les transformations linéaires entre espaces vectoriels, souvent représentées par des matrices, en sont des exemples fondamentaux. Les notions associées incluent le noyau et l’image, la dimension (ou rang) et les bases des espaces concernés.

Exemples et distinctions: une fonction f(x) = A x (avec A une matrice) est linéaire; l’opérateur dérivé D est linéaire car D(u + v) = Du + Dv et D(αu) = α Du. À l’inverse, une fonction du type f(x) = A x + b n’est pas linéaire mais affine (elle ne vérifie pas f(0) = 0 sauf si b = 0).

Applications et implications: la linéarité est centrale en algèbre linéaire, analyse et physique, permettant le principe de superposition et des méthodes efficaces (résolution de systèmes, décomposition en valeurs propres, approximation locale par des systèmes linéaires). Elle sous-tend aussi de nombreux modèles en statistiques et en ingénierie.

Voir aussi: non-linéarité, transformations linéaires, opérateurs linéaires.