lineaaristamisesta

Lineaaristaminen on prosessi, jossa epälineaarinen suhde tai järjestelmä muokataan tai mallinnetaan lineaariseksi. Sitä hyödynnetään sekä matematiikassa että tilastotieteessä, taloustieteessä ja insinööritieteissä, kun halutaan helpottaa analyysia tai soveltaa lineaarisia työvälineitä kuten lineaarista regressiota tai lineaarista kontrollia.

Matemaattisessa kontekstissa lineaaristaminen tarkoittaa usein paikallista lineaarista approksimaatiota pisteessä x0: f(x) ≈ f(x0) + f′(x0)(x − x0). Tällä tavoin ei-lineaarinen funktio voidaan nähdä tai analysoida lineaarisena lähestymistapana riittävän pienillä muutoksilla. Järjestelmä- ja kontrolleriopissa tämä johtaa lineaariseen tilayhtälöön ẋ ≈ A x + B u ja ulostulo y ≈ C x + D u.

Toinen linja lineaaristamisesta on muuttujien transformointi datassa, jolla muodostetaan lineaarinen suhde. Esimerkiksi y = a e^{b x} muuttuu lineaariseksi kun otetaan logaritmi: ln y = ln a + b x. Yleisempiä ovat logaritminen muunnos, neliöjuuri- tai Box–Cox -transformaatiot, jotka voivat parantaa lineaarisuutta ja vakauttaa varianssia.

Rajoitteet: lineaarinen malli on likimääräinen ja suurilla poikkeamilla sen vaikutus voi olla merkittävä. Epälineaarisuuden voimakkuus voi vaatia paikallisten tai epälineaaristen menetelmien käyttö, kuten osittaislinjaista mallinnusta, spline-määrittelyä tai epälineaarista regressiota.

Lineaaristamisen tavoitteena on tarjota helppokäyttöisiä, tulkittavia malleja sekä ratkaista ongelmia tehokkaammin kuin epälineaarisilla malleilla, kun tilanne sen sallii.