lineaaristaminen

Lineaaristaminen on prosessi, jossa ei-lineaarinen ilmiö, malli tai suhde esitetään lineaarina. Tämä yksinkertaistaminen helpottaa analysointia, suunnittelua ja laskentaa sekä antaa vakiintuneita tulkintoja, kun tarkka ei-lineaarinen käyttäytyminen on haastavaa.

Matematiikassa lineaaristaminen tarkoittaa funktion tai järjestelmän ei-lineaarisen käytöksen likimääräistä esittämistä lineaarilla lähestymistavalla. Jos f on derivoituva pisteessä x0, lineaarinen likimäärä on f(x) ≈ f(x0) + f′(x0)(x − x0). Monimuuttujaisessa tapauksessa f(x) ≈ f(x0) + J_f(x0)(x − x0), jossa J on Jacobian.

Dynaamisissa järjestelmissä lineaaristaminen sijoittuu tasapainopisteen ympärille: jos x′ = f(x) ja x* on tasapainopiste, niin x′ ≈ A(x − x*), missä A = ∂f/∂x|_{x*}. Tämä mahdollistaa paikallisen stabiliteetti- ja käyttäytymisanalyysin sekä kontrollin suunnittelun.

Tilastotieteessä lineaaristaminen voi tarkoittaa ei-lineaarisen suhteen paikallista lineaarista approksimaatiota tai transformaatiota, jolla saavutetaan lineaarinen yhteys. Esimerkkejä ovat lokaali lineaarinen regressio sekä muunnokset (esim. logaritmi, Box-Cox) tai tangenttiregressio.

Menetelmät ja rajoitukset: Lineaaristaminen on paikallinen, ja sen tarkkuus heikkenee kauempana tarkastelupisteestä. Liian yksinkertainen lineaarinen malli voi piilottaa tärkeät ei-lineaariset ilmiöt, kuten useita tasapainoja tai limit-syklit.

Sovelluksia löytyy muun muassa mekaniikasta, elektroniikasta, robotiikasta, taloustieteestä ja biologiasta.

Etymologia: Termi muodostuu sanoista lineaarinen ja -istaminen, ja viittaa toimintaan tehdä jostakin lineaarista.