tasapainopiste

Tasapainopiste on piste järjestelmän tilassa, jossa tilanmuutos on nolla. Jatkuvissa dynaamisissa järjestelmissä, joissa tilat kuvataan x(t) ja x' = f(x), tasapainopiste x* täyttää f(x*) = 0. Diskreetissä järjestelmässä, jossa tilamuutos on x_{t+1} = F(x_t), tasapainopiste täyttää F(x*) = x*.

Stabiilius ja luokittelu määritellään erikseen jatkuville ja diskreeteille järjestelmille. Jos kaikki lineaarisen approksimaation ominaisarvot f'(x*) (jatkuva-aikaisessa järjestelmässä) tai F'(x*) (diskreeteissä) ovat negatiivisen reaaliosan (jatkuva) tai modulus alle 1 (diskreeteissä), tasapainopiste on asymptotisesti stabiili. Jos jokin ominaisarvo on positiivinen (jatkuva) tai modulus suurempi kuin 1 (diskreeteissa), se on epästabiili. Jos osa ominaisarvoista on nolla, piste on ei-hyperbolinen ja vaatii ei-lineaarista analyysiä kuten center manifold -teoria tai Lyapunov-funktio.

Yleensä tasapainopisteet löydetään ratkaisemalla f(x) = 0 (tai F(x) = x). Ne voidaan arvioida joko analyyttisesti tai numeerisesti. Paikallinen vakaus ratkaistaan Jacobianin eli f'(x*) tai F'(x*) ominaisarvojen avulla. Hyperbolisia pisteitä kuvaa Hartman-Grobman-teoreema, jonka mukaan lokaali käyttäytyminen on topologisesti sama kuin lineaarisoidussa järjestelmässä.

Sovelluksina tasapainopisteitä käytetään matematiikassa ja useilla sovellusalueilla kuten fysiikassa, kemiassa, biologiassa ja taloustieteessä. Esimerkkejä ovat kemiallinen tasapaino, talouden markkinatasapaino sekä biologisten populaatioiden vakaa taso. Tasapainopisteet kuvaavat järjestelmän pitkän aikavälin käyttäytymisen mahdollisia lopputiloja.

---