koordinatvektorn

Koordinatvektorn är inom lineär algebra den kolumnvektor av koefficienter som uttrycker en vektor v i ett vektorrum V med avseende på en bas B = {v1, ..., vn}. Om v kan skrivas som v = a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn med unika scalärer ai i fältet F, så är koordinatvektorn av v relativt B given av [v]_B = (a1, a2, ..., an)^T ∈ F^n.

Relation till baser och kartor. Koordinatvektorn [v]_B kartlägger varje v i V till en n-dimensionell kolumnvektor i F^n. Denna kartläggning är en isomorfism mellan V och F^n när B är en basis. Den standarderbys i F^n kallad den standardbasen E = {e1, ..., en}, där [v]_E är helt enkelt komponenterna av v i den ordningen.

Exempel. I R^3 med standardbasen E = {e1, e2, e3} har en vektor v = (3, -2, 5) koordinatvektorn [v]_E = (3, -2, 5)^T. Om en annan bas B = {b1, b2} i ett tvådimensionellt utrymme används, och v = 4 b1 − 2 b2, så är [v]_B = (4, −2)^T.

Byt bas. Om B och C är två baser på V finns det en övergångsmatris P så att [v]_C = P [v]_B. P beskriver hur koordinaterna ändras när representationen av v flyttas från basen B till basen C.

Användning. Koordinatvektorer möjliggör representation av vektorer och linjära avbildningar som matriser respektive kolumnvektorer, samt enkel förändring av representation vid olika baser.