kolumnvektor

En kolumnvektor är en matris med en enda kolumn, alltså en m×1-matris. Den används ofta för att representera koordinaterna för en vektor i R^m, där komponenterna x1, x2, …, xm skrivs som en vertikal lista: [x1; x2; …; xm]. Kolumnvektorer skiljer sig från radvektorer, som är 1×n-matriser. En vanlig notation är x = [x1; x2; …; xm] eller x = (x1, x2, …, xm)^T.

Kolumnvektorer används som ingångsvärden i linjära transformationer. Om A är en m×n-matris och x är en n×1-kolumnvektor, så ger produkten y = A x en m×1-kolumnvektor som representerar bilden av x under den linjära transformationen definierad av A. Transponering av en kolumnvektor ger en radvektor och vice versa.

Egenskaper och arbetsregler: Kolumnvektorer adderas komponentvis med andra kolumnvektorer av samma dimension, och de kan skalas av en skalar. Euclidean-normen för en kolumnvektor x är ||x|| = sqrt(x1^2 + x2^2 + … + xm^2). Standardbasisvektorerna e1, e2, …, em är kolumnvektorer där en enda komponent är 1 och övriga är 0, och de utgör en bas för R^m.

Användningsområden: kolumnvektorer används för att representera lösningar till linjära system, koordinater i olika baser, samt som indata i linjära transformationer och maskinlärningsmodeller. I system av ekvationer skrivs ibland ett polärt eller konstantbegrepp som en kolumnvektor b i augmented- eller längdform.