Kolumnvektorer

Kolumnvektorer är en typ av matriser som har en enda kolumn och därmed flera rader. De används för att representera vektorer i n-dimensionella rum, till exempel i R^n. En kolumnvektor skrivs ofta i formen v = [v1; v2; ...; vn]^T eller som en kolumn av tal. Exempel: [3; -1; 2] är en kolumnvektor i R^3.

Operativt följer kolumnvektorerna samma regler som andra vektorer: skalär multiplikation gör varje komponent större eller mindre med samma faktor, och vektoraddition görs komponentvis. Om A är en m×n-matris och x är en n×1-kolumnvektor, så är produkten Ax en m×1-kolumnvektor. En matris kan ses som byggd av kolonnvektorer; kolonnerna i A utgör en generatoruppsättning för kolonnutrymmet, dvs. alla linjärkombinationer av kolonnvektorerna.

Kolonnrum (kolonnutrymme) är mängden av alla möjliga kolonnvektorer som kan bildas som linjärkombinationer av A:s kolonner. Bilden av en linjär avbildning representeras ofta av kolonnvektorerna i bildutrymmet. Rang av en matris är dimensionen på dess kolonnrum och relaterar till hur många oberoende kolonner den har. Standardbasen i R^n består av kolonnvektorerna e1, e2, ..., en.

Jämfört med radvektorer är kolonnvektorerna n×1 och transpose blir en radvektor. Kolumnvektorer används även för att lösa linjära system Ax=b, där b och varje kolonn i A representerar data i systemet.

Användningar och betydelse i linjär algebra är breda: konstruktion av lösningar till ekvationssystem, representation av koordinater och avbildningar, samt studie av struktur som kolonnrum och rang.