kokonaisluvuissa

Kokonaisluvut ovat lukujen joukko, joka sisältää nollan sekä sekä negatiiviset että positiiviset luvut. Joukko merkitään usein symbolilla Z ja sen keskeinen käsitteellinen kuva kuuluu: ..., -2, -1, 0, 1, 2, .... Kokonaisluvut muodostavat rajattoman ja kokonaisuuteen kuuluvan lukujärjestelmän.

Kokonaisluvut sisältävät kaikki luonnolliset luvut sekä niiden negatiiviset vastineet. Nuoremmissa määritelmissä luonnolliset luvut voivat alkaa nollasta tai yhdestä, mutta kokonaisluvut kattavat aina sekä positiiviset että negatiiviset vastineet sekä nollan.

Ominaisuudet ja peruslauseet. Kokonaisluvut ovat suljettuja yhteenlaskussa, vähennyslaskussa ja kertolaskussa: tulokset pysyvät kokonaislukuina. Jakolaskussa ei yleensä ole suljetta: ei jokainen kahden kokonaisluvun tuloja tai osamäärä ole kokonaisluku. Tämä asettaa kokonaisluvut eräänlaiseksi renkaaksi (ring) peruslaskutoimituksiin, mutta ei suljetaista kokonaislukujen lukuja kaikissa operaatioissa. Parillisuus ja parittomuus ovat keskeisiä luokittelijoita: luvuilla on aina jopa tai pariton asema.

Käyttö ja merkitys. Kokonaisluvut ovat keskeisiä luku-teorian perusta, tarjoavat välineitä epäintegroimattomien lukujen lähentämiseen ja niitä käytetään diofantisissa yhtälöissä sekä monissa sovelluksissa, kuten sanallisten ongelmien mallintamisessa. Näiden lukujen jakson, suurimman yhteisen tekijän ja pienimmän yhteisen kerrannaisen käsittely kuuluu osaksi kokonaislukujen teoriaa.

Historiallisesti kokonaisluvut ovat kehittyneet antiikin ajoista moderniin lukuteoriaan. Niiden tiivis, vankka rakenne muodostaa perustan monille matemaattisille rakennelmille ja algoritmeille, kuten Euklidin gcd-menettelylle ja Bezoutin lauseelle. kokonaisluvut ovat siten keskeinen käsite matematiikan perusrakenteissa.