osamäärä

Osamäärä (osamäärien hajotus) on matemaattinen käsite, jota käytetään erityisesti rationaalisten funktioiden hajottamiseen osien summaksi. Yleisesti osamäärä tarkoittaa rationaalista funktiota P(x)/Q(x), joka voidaan esittää muodossa P(x)/Q(x) = sum_i sum_{k=1}^{m_i} A_{i,k} / d_i(x)^k, missä Q(x) on jaettavissa erillisiin, toisiinsa suhteellisesti riippumattomiin irreducible-tekijöihin d_i(x) ja joissa kunkin d_i(x):n kertaluku m_i on sen tekijän multipliciteetti Q(x):ssä. A_{i,k} ovat tuntemattomia vakioita, jotka ratkaistaan kvantiteeteiksi asettamalla yhtälöyhtälältö ja vertaamalla osoittajia tai käyttämällä katkaisumenetelmää.

Menettely osamäärän löytämiseksi koostuu tavallisesti neljästä vaiheesta: 1) Q(x):n faktorisointi irrotettavaksi irreducible-tekijöihin yli halutun kentän (esim. reaalilukujen tai rationaalikentän); 2) määritellään tuntemattomat vakiot A_{i,k} ja muoto, jossa kukin termi on d_i(x)^k:n derivoitua tai sen potenssin käänteismurtoluku; 3) muodostetaan verrannollisuudet sekä pääyhtälöt, joilla osoittimet saadaan vastaamaan alkuperäistä nimittäjää ja osoittajien astetta; 4) ratkaistaan vakiot ja kirjoitetaan lopullinen hajotus.

Esimerkki: (3x+5)/(x^2-1) voidaan esittää 4/(x-1) - 1/(x+1). Tämä on osamääräjako, jossa Q(x)=x^2-1=(x-1)(x+1).

Käytännön sovellukset ovat laajoja: integraalilaskenta, differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen sekä signaalinkäsittelyssä käytettävien muunnosten rakentaminen. Osamäärän historia liittyy varhaiseen 1700-luvun laskentaan, ja tunnetuimpia kehittäjiä ovat Euler ja Cauchy. Finnish termi osamäärä viittaa osiin ja määrään sekä heidän suhteeseensa.