irreduceerbaarheid

Irreduceerbaarheid is een eigenschap van sommige elementen in een ring met eenheid die aangeeft dat het element niet op te delen is in een product van twee niet-eenheids-elementen. Concreet: in een commutatieve ring R met 1 geldt dat een niet-nul en niet-eenheids element a irreduceerbaar is als voor elke factorisatie a = bc geldt dat b of c een eenheid is.

In een integrale domein (een ring zonder nuldelers) levert irreduceerbaarheid meestal een duidelijker onderscheid op tussen verschillende typen factorisatie. Een irreduceerbaar element kan niet als product van twee niet-eenheden worden geschreven, maar kan wel worden geschreven als een product van factoren die units zijn of tot associatie van elkaar behoren. In polynoomringen is een veelgebruikte situatie: een polynoom f in F[x] is irreduceerbaar als hij niet kan worden gefactoriseerd als product van polynomen met grotere graden dan 0.

Relaties met andere concepten: elke priem factor in een integrale domein is irreduceerbaar; omgekeerd geldt dit niet in alle ringen. In een unieke factorisatie-domein (UFD) zijn irreduceerbare elementen precies de factoren die een element in een product kan opnemen (tot associatie en volgorde) en zijn irreduceerbaar en priem tegelijk. In ringen met nuldelers kan de relatie tussen irreduceerbaarheid en primaliteit afwijkingen vertonen.

Voorbeelden: in het geheel getallenring Z geldt dat getallen zoals 2 en 3 irreduceerbaar en priem zijn; 6 kan worden geschreven als 2·3 en is dus niet irreduceerbaar. Een voorbeeld uit polynoomringen: over een veld F is x^2+1 in F[x] irreduceerbaar als x^2+1 niet kan worden geschreven als (x-a)(x-b) met polynomen van positieve lengte in F[x].

Irreduceerbaarheid speelt een centrale rol in de studie van factorisatie en algebraïsche structuur van ringen.