interpolationen

Interpolationen bezeichnet in der Mathematik das Vorgehen, aus einer endlichen Menge von bekannten Messpunkten Werte an Stellen dazwischen abzuschätzen. Ziel ist es, eine Funktion zu finden, die die Diskretisierung F(xi) = yi erfüllt und damit Werte im Intervall zwischen den bekannten Stützpunkten plausibel extrapoliert. Im Gegensatz zur Extrapolation geht es bei der Interpolation um Werte innerhalb des Bereichs der Stützpunkte.

Typische Verfahren sind polynomische Interpolation, bei der durch n+1 Stützstellen ein Polynom n-ten Grades gefunden wird, das alle gegebenen Punkte durchläuft. Bekannte Methoden sind Lagrange- und Newton-Interpolation; numerisch oft in baryzentrischer Form implementiert, wegen Stabilität. Eine Alternative sind spline-Interpolationen, insbesondere kubische Splines, die zwischen Stützstellen glatte, piecewise-polynomiale Funktionen erzeugen.

Weitere Ansätze umfassen lineare Interpolation sowie quadratische und höhere Splines. Die Wahl des Verfahrens beeinflusst Glätte, Genauigkeit und Stabilität. Polynomische Interpolation kann bei vielen Stützpunkten zu großen Schwingungen führen, das sogenannte Runge-Phänomen; Splines mindern dieses Risiko und liefern lokale Anpassungen.

Anwendungsgebiete der Interpolation liegen in der Datenrekonstruktion, der Glättung und dem Ausgleich von Messreihen, in der numerischen Integration und Simulation, in Computergraphik und Grafik, sowie in Geowissenschaften, Meteorologie und Signalverarbeitung. Interpolationen liefern so eine durchgängige Darstellung von diskret vorliegenden Informationen.