baryzentrischer

Baryzentrische Koordinaten sind ein Koordinatensystem zur Beschreibung eines Punktes relativ zu einem Dreieck (oder allgemein zu einem Simplex) durch drei Gewichte, die sich auf die Eckpunkte beziehen. Sie ermöglichen, P als lineare Mischung der Eckpunkte zu schreiben: P = αA + βB + γC mit α + β + γ = 1.

Die Koeffizienten α, β, γ heißen baryzentrische Koordinaten von P bezüglich des Dreiecks ABC. Sie erfüllen die Eigenschaft, dass α = Fläche(PBC)/Fläche(ABC), β = Fläche(PCA)/Fläche(ABC), γ = Fläche(PAB)/Fläche(ABC). Diese Interpretation über Flächenverhältnisse verbindet die Koordinaten mit der Geometrie des Dreiecks.

Ist α, β, γ ≥ 0, liegt P im Dreieck; wenn einer negativ ist, liegt P außerhalb; wenn zwei Null sind, entspricht P einem Eckpunkt. Die baryzentrischen Koordinaten ermöglichen eine intuitive Interpolation im Dreieck, z. B. beim Mischen von Eigenschaften an den Ecken.

Berechnung: Aus den Koordinaten von A, B, C und P erhält man diese Werte, indem man das Gleichungssystem P = αA + βB + γC mit α + β + γ = 1 löst oder über die Flächenverhältnisse in der Ebene ableitet. Homogene baryzentrische Koordinaten (α:β:γ) ermöglichen eine projektive Darstellung; die Summe muss nicht 1. In jeder Dimension entspricht dies einem d-dimensionalen Simplex mit d+1 Koordinaten, die als affiner Mix der Eckpunkte interpretiert werden.

Anwendungen finden sich in der Computergrafik zum Interpolieren von Farben oder Texturkoordinaten, in der Finite-Elemente-Methode, Geometrie und Robotik. Als spezieller Fall ist der Schwerpunkt eines Dreiecks durch α = β = γ = 1/3 gegeben.