impulsfunktion

Die Impulsfunktion, oft als Dirac-Delta-Funktion δ(t) bezeichnet, ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung einer Funktion, die als Distribution wirkt. Sie besitzt keinen regulären Funktionswert und ist neben der klassischen Funktionstheorie besser in der Distributionstheorie aufgehoben. Die zentrale Eigenschaft ist die Sifting- oder Ausschüttungseigenschaft: Für jede glatte Testfunktion φ gilt ∫_{-∞}^{∞} φ(t) δ(t) dt = φ(0). Allgemein gilt ∫_{-∞}^{∞} φ(t) δ(t−t0) dt = φ(t0).

Charakteristische Merkmale sind, dass δ(t) null ist, außer bei t = 0, und dass das Gesamtarea unter δ(t) gleich 1 ist. In vielen Anwendungen erscheint δ als Grenzwert einer Folge von Funktionen mit wachsender Spitze und kleinerer Breite, die eine Fläche von 1 beibehalten. Beispiele sind die Folgen eines Rechteckpulses oder einer normalverteilten Kurve mit Varianz → 0.

Beziehungen zu anderen Funktionen: Die Ableitung der Heaviside-Schrittfunktion H(t) ergibt δ(t) (dH/dt = δ). δ lässt sich somit als differentielles Fundament vieler Modelle interpretieren. Verktoren auch als Grenzwertdarstellung darstellen: δ(t) = lim_{ε→0} (1/ε)·χ_{[-ε/2, ε/2]}(t) = lim_{σ→0} (1/(√(2π)σ)) e^{-t^2/(2σ^2)}.

Transformierte Eigenschaften: Die Fourier-Transformierte von δ(t) ist konstant 1, und die Laplace-Transformierte ist ebenfalls 1 (je nach Definitionsbereich). In der Signalverarbeitung dient δ als ideale Eingabe, deren Reaktion eines linearen zeitinvarianten Systems die Impulsantwort des Systems beschreibt.

Anwendungen finden sich in Physik, Ingenieurwesen und Mathematik, etwa bei Green-Funktionen, Systemanalyse, Signalverarbeitung und Theorien der Distribuções. In der Diskreten Form gibt es analog den Kronecker-Delta δ_{ij}.