haarautumisprosesseja

Haarautumisprosessi on stokastinen prosessi, jossa yksilöt synnyttävät satunnaisen määrän jälkeläisiä ja seuraavien sukupolvien populaatio muodostuu näiden jälkeläisistä. Prosessi kuvaa satunnaista kasvua ja kuolemaa, ja tuleva populaatio riippuu edellisen sukupolven rakenteesta.

Yleisin malli on Galton–Watson-prosessi (monotypinen haarautumisprosessi) diskreetissä ajassa. Olkoot Z0 aloituspopulaatio ja Z_{n+1} = sum_{i=1}^{Z_n} X_i^{(n)}, missä X_i^{(n)} ovat identtisen ja riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden jakauma on P(X=k)=p_k. Generoitumisfunktio f(s) = sum_{k>=0} p_k s^k. Häviämistodennäköisyys q on pienin ei-negatiivinen ratkaisu yhtälölle f(s)=s.

Tilat luokitellaan keskimääräisen jälkeläisten määrän m = E[X_i] mukaan: subcritical (m<1) sekä critical (m=1) toteuttavat häviämistodennäköisyyden q=1; supercritical (m>1) antaa q<1, jolloin on positiivinen todennäköisyys populaation säilymiselle.

Jatkuva-aikaiset haarautumisprosessit (birth-death prosessit) ovat jatkuvan ajan analogioita, joissa synty- ja kuolintapahtumat tapahtuvat ajan kuluessa. Monityyppiset haarautumisprosessit käsittävät useita tyyppejä tai luokkia ja laajentavat mallia monimuuttujaisiin tilanteisiin, kuten geneettiseen kehitykseen tai ekosysteemien vuorovaikutuksiin.

Sovelluksia ovat biologia ja populaatiotutkimus, epidemiologia ja taudin dynamiikka, solu- ja solurakenteiden kasvu sekä ydinreaktioiden ketjut ja verkostojen kasvun mallintaminen.

---