gradientfältet

Gradientfältet är vektorfältet som uppstår när man tar gradienten av en differentiellt kontinuerlig skalarfunktion f: R^n → R. Vanligast beaktas f i två eller tre dimensioner, t.ex. f(x,y) eller f(x,y,z). Gradientfältet betecknas ∇f och består av de partiella derivatorna ∂f/∂x, ∂f/∂y (och ∂f/∂z).

Geometriskt pekar ∇f i riktningen för den största ökningen av f, och dess längd motsvarar hastigheten på denna ökning. Gradientfältet är vinkelrätt mot nivåytor av f; i varje punkt står det normalt mot ytan som representerar samma funktionsvärde.

Egenskaper: För en kontinuerligt deriverbar f är ∇f ett konservativt fält. Längdintegralen längs en kurva beror bara på kurvans slutpunkter och ges av f(b) − f(a). I tre dimensioner uppfyller ∇×(∇f) = 0, dvs. gradientfält är irrotationsfritt. Under vissa topologiska förhållanden är varje irrotationsfält också en gradient av någon skalar funktion.

Exempel: f(x,y) = x^2 + y^2 ger ∇f = (2x, 2y). Det gradientfältet pekar utåt från origo och dess magnitud är 2√(x^2+y^2). Ett annat exempel: f(x,y) = xy ger ∇f = (y, x).

Användningar: gradientfält används i optimering och maskininlärning för att hitta extrema värden, inom fysik för att beskriva potentiella fält, samt inom datavetenskap och bildbehandling där vektorfält framställs från skalar funktioner.