gradientfält

Ett gradientfält är ett vektorvärdefält F på en domän i R^n som kan skrivas som F = ∇f för en skalär funktion f, kallad potentialfunktion. Sådana fält kallas konservativa eftersom arbetet längs en kurva mellan två punkter bara beror på start- och slutpunkt.

Egenskaper: Eftersom F = ∇f pekar F i riktningen mot den största ökningen av f och dess storlek anger takten av ökningen. Linjeintegralen längs en kurva C mellan punkterna a och b är ∫_C F · dr = f(b) − f(a). Gradientfält är alltid irrotationsfria: ∇×F = 0 där det är definierat.

Existensvillkor: På en enkelt sammanhängande domän gäller: om F har curl F = 0 över domänen, så finns det ett f med ∇f = F (fås upp till en konstant). På icke-sammanhängande domäner kan en curl-fri fält inte vara en gradient; ett klassiskt exempel är F = (−y/(x^2+y^2), x/(x^2+y^2)) i R^2 utan origo.

Exempel: f(x,y) = x^2 + y^2 ger F = ∇f = (2x, 2y). I tredimensionell rymd: f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 ger F = ∇f = (2x, 2y, 2z).

Användningar: I fysik beskriver gradientfält konservativa krafter och potentialenergi. Inom optimering och maskininlärning används gradienter för att hitta lokala extrempunkter genom gradientnedstigning. I vätske- och elektrostatik förekommer gradientfält som beskrivningar av potentialfält.

Viktiga punkter: Gradientfält kräver att f är differentiell på en öppen domän. Inte varje vektorfält är en gradient; villkoren för gradientegenskaper inkluderar path independence och curl-frihet under rätt domänförhållanden.