fältutvidgning

En fältutvidgning, eller fältutvidgning E/F, består av två kroppar F och E där F är en delkropp av E. Med andra ord är E ett fält som innehåller F som ett underrum vad gäller addition och multiplikation. Fältutvidgningen beskriver hur ett befintligt fält utökas genom att addera nya element och deras algebraiska egenskaper.

Graden av utvidgningen [E:F] är dimensionen av E som vektorrum över F. Om varje element i E är roten till ett polynom med koefficienter i F säger man att utvidgningen är algebraisk; annars är den transcendental. En algebraisk utvidgning kallas ändlig om [E:F] är ett ändligt heltal. Om en ändlig utvidgning är både algebraisk och har ändlig dimension uppfyller den kravet på en ändlig fältutvidgning.

Exempel på fältutvidgningar är Q ⊆ Q(√2), vilken har graden 2, och R ⊆ C, där [C:R] = 2. En annan klassisk exemplifiering är fältet Q(∛2) över Q, som är algebraisk och ändlig men inte normalt eftersom alla olika rötter till x^3−2 inte behöver ligga i samma utvidgning utan endast ∛2.

Lagar och begrepp: Tornlagen säger att om K ⊆ F ⊆ E så är [E:K] = [E:F] · [F:K]. Om E/F är en ändlig och separabel utvidgning finns ett element α i E så att E = F(α) (Primt Gentleman-teoremet). En utvidgning är normal om varje firad polynom som har en rot i E splitsar helt i E; den är Galois om den är både normal och separabel, och dess automorfömer bildar Galoisgruppen Gal(E/F).

Användningar: fältutvidgningar är centrala inom algebra, talteori och algebraisk geometria, där de används för att studera rötter till polynom, konstruktioner av nya fält och Galois-teoriens struktur.