Galoisgruppen

Galoisgruppen bezeichnet die Gruppe der F-Feldautomorphismen eines Körpererweiterungskreises K/F. Man schreibt Gal(K/F) für diese Gruppe und definiert sie als die Menge aller Abbildungen σ: K → K, die linear, bijektiv sind und jedes Element von F festhalten (σ|F = id). Wenn K das Spaltungsfeld eines Polynoms f über F ist, lässt sich Gal(K/F) als Untergruppe der Permutationsgruppe der Wurzeln von f interpretieren: Jeder Automorphismus permutiert die Wurzeln.

Der Fundamentalsatz der Galois Theorie besagt eine bijektive Zuordnung zwischen Untergruppen H von Gal(K/F) und Zwischenkörpern E mit F ≤ E ≤ K, gegeben durch E = K^H und H = Gal(K/E). Normaluntergruppen entsprechen normal Erweiterungen, und Gal(K/F)/H ≅ Gal(E/F). Im endlichen Fall gilt zudem [K:F] = |Gal(K/F)|. Die Struktur der Galoisgruppe spiegelt die Symmetrien der Wurzellage wider.

Beispiele: Für f(x) = x^2 − a über F ist, sofern a nicht in F^2 liegt, das Spaltungsfeld K = F(√a) und Gal(K/F) hat Ordnung 2. Irreducible Polynom dritten Grades wie x^3 − 2 über Q liefert typischerweise Gal(K/F) ≅ S3, eine nicht abelsche, aber lösbare Gruppe. Allgemein bestimmt die Galoisgruppe, ob ein Polynom durch Radikale lösbar ist: Ein Polynom ist lösbar durch Radikale genau dann, wenn seine Galoisgruppe lösbar ist. Höhere Grade können Galoisgruppen wie S_n, A_n oder andere kompliziertere Gruppen besitzen; das berühmte Beispiel S5 liefert eine nicht lösbare Quintik.

Varianten: Man spricht auch von der Galoisgruppe eines Polynoms f über F als Gal(L/F), wobei L das Spaltungsfeld von f in einem algebraischen Abschluss von F ist. Bei endlichen Erweiterungen ist Gal(K/F) eine endliche Gruppe; bei allgemeinen algebraischen Erweiterungen kann sie unendlich sein.