funktionsniveau

Funktionsniveau bezeichnet in der Mathematik die Menge von Punkten im Definitionsbereich einer Funktion, an denen der Funktionswert einen festen Wert annimmt. Formal wird für eine Funktion f: X -> R das Funktionsniveau als die Level set L_c definiert, die aus L_c = { x ∈ X | f(x) = c } besteht. In der deutschsprachigen Fachwelt spricht man auch von der Niveauregion oder Niveaumenge; je nach Kontext werden auch Begriffe wie Niveaulinie oder Niveafläche verwendet.

Bei Funktionen von mehrdimensionalen Räumen ergibt sich je nach Dimension eine anschauliche Geometrie: in zwei Dimensionen (n = 2) sind die Level sets Niveaulinien bzw. Konturen; in drei Dimensionen (n = 3) bilden sie Niveaflächen bzw. Isosurfaces. Ein bekanntes Beispiel ist f(x, y) = x^2 + y^2. Dann lautet das Level set für c ≥ 0: L_c = { (x, y) | x^2 + y^2 = c }, das einem Kreis mit Radius sqrt(c) entspricht.

Zusammenhang mit der Ableitung: Der Gradient ∇f ist normal zu jeder Level set; falls ∇f(x0) ≠ 0, ist L_c in einer Umgebung von x0 eine glatte Untermannigfaltigkeit. Level sets spielen eine zentrale Rolle in Analysis, Optimierung und Geometrie sowie in Anwendungen wie Kartographie (Konturlinien), Physik, Bildgebung und Computergrafik. In der Numerik dient die Level-Set-Methode der Verfolgung von Grenzflächen, die durch Gleichungen f(x) = c definiert sind.