feilkonvergens

Feilkonvergens er et begrep innen tallberegning som beskriver hvordan feilen i en numerisk beregning avtar når man gjør beregningen mer presis, enten ved flere iterasjoner i en løsning av en ligning eller ved å forbedre discretiseringen av problemet. Det finnes to hovedkontekster: iterativ løsning av ligninger eller optimalisering, og konvergens av discretisering av kontinuerlige problemer.

I en iterativ prosess defineres feilen som e_k = x_k − x*, der x* er den eksakte løsningen. Dersom e_k → 0 når k → ∞, konvergerer metoden. Konvergensens hastighet kalles ordren p og kan beskrives ved limsup |e_{k+1}| / |e_k|^p = C, der 0 < C < ∞. Ved p = 1 og C < 1 får man lineær konvergens, ved p = 2 forventes kvadratisk konvergens; høyere p gir ofte raskere konvergens (superlinear). Klassiske eksempler er Newtons metode, som ofte viser kvadratisk konvergens nær en enkel rot under passende regularitet, og andre metoder som kan være lineære eller superlinære avhengig av betingelsene.

I discretisering refererer feilkonvergens til hvordan den numeriske løsningen u_h nærmer den sanne løsningen u når discretiseringen forbedres, for eksempel ved å redusere rutenettstørrelsen h. Feilen e_h = u − u_h måles i en norm, og konvergensordren p oppgis via ||e_h|| ≤ C h^p for små h. Mange metoder oppnår et bestemt p under passende forutsetninger, for eksempel finite differanse- eller finite element-metoder. Konsistens og stabilitet er ofte nødvendige for å sikre konvergens i praksis. For å estimere konvergensordren brukes ofte log-log-plott av feil mot discretiseringsparametere.