iterasjoner

Iterasjoner er repetisjoner av en prosess med mål om å nærme seg et ønsket resultat. Begrepet brukes på tvers av fagfelt, særlig i matematikk, numerisk analyse og programmering. En iterativ metode består av en regel eller en prosess som gjentas, slik at den genererer en sekvens av tilnærminger mot en løsning eller et optimum.

I praksis deles iterasjoner ofte inn i numeriske metoder for å løse ligninger og systemer, eller i optimering hvor løsningen forbedres for hver ny iterasjon. Innen programmering omtales iterasjoner som løkker (for-, while-løkker) som gjentar et sett med operasjoner. Fordelen ved iterasjon i stedet for rekursjon er ofte lavere minnebruk og unngåelse av stakk-overløp.

Konvergens og hastighet er sentrale begreper ved iterasjon. En metode sier at den konvergerer hvis sekvensen av tilnærminger nærmer seg den faktiske løsningen når antallet iterasjoner vokser. Konvergenshastigheten beskriver hvor raskt dette skjer og kan være lineær, under-linær, kvadratisk eller kvadrativt (som i Newton-Raphson-metoden). Stoppekriterier bestemmes vanligvis av en toleranse for endringen mellom påfølgende tilnærminger eller for feilen i løsningen, eller ved et maksimalt antall iterasjoner.

Eksempler på kjente iterasjonsmetoder inkluderer fixed-point iterasjon x_{n+1} = g(x_n), Newton-Raphson-metoden for å finne røtter til f, og iterative metoder for systemer av ligninger som Gauss-Seidel og Jacobi. Risikoen ved iterasjon er at metoden kan ikke konvergere eller være sensiv til startverdier og valg av oppdateringsregel.

Se også: numerisk analyse, optimering, lineær algebra.