extremvärden

Extremvärden, eller extrema värden, är de högsta och lägsta värden som en funktion eller ett dataset antar inom ett givet område. Begreppet används inom matematikens kalkyl, optimering och statistik för att beskriva hur data fördelar sig eller hur en funktion beter sig.

I funktionell analys delas extrema i lokala och globala. Ett lokalt extremvärde uppträder där funktionen är större respektive mindre än i närliggande punkter; ett globalt extremvärde är det högsta eller lägsta värdet över hela definitionsmängden. Kritiska punkter uppstår där derivatan är noll eller inte definierad. För att avgöra om en kritisk punkt är lokal extrem används ofta andraderivetestet eller första derivatan-testet, tillsammans med värden vid intervallets ändpunkter när intervallet är begränsat.

Exempel: f(x) = x^2 har globalt minimalt extremvärde vid x = 0 med värdet 0; f(x) = -x^2 har globalt maximalt extremvärde vid x = 0 med värdet 0. Funktionen f(x) = x^3 har inget lokalt extremvärde på hela R, trots att derivatan är noll vid x = 0; där ser man istället en inflexionspunkt. På ett slutet intervall kan ett globalt extremvärde uppträda i ändpunkterna.

Metodiskt används ofta derivatan för kontinuerliga funktioner: hitta kritiska punkter genom f'(x) = 0, kontrollera med andraderivetestet eller första derivatan-testet, och komplettera med värden vid intervallets ändpunkter för att finna globala extremvärden.

Inom statistik motsvarar extremvärden minsta och största observationer i ett dataset och ger dess räckvidd; de kan påverka mått som medelvärde och standardavvikelse och är centrala i temperatur-, pris- och riskanalyser.