elipsóide

Elipsóide é uma superfície tridimensional suave definida pela equação (x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1, com a, b e c positivos. Os semieixos a, b e c medem, respectivamente, as extensões ao longo dos eixos x, y e z, estando cada um associado a uma direção principal do sólido. Em termos conceituais, o elipsóide é o conjunto de pontos cuja distância ao centro é restringida de acordo com esses alongamentos.

O elipsóide pode ser obtido pela imagem afim de uma esfera sob um alongamento anisotrópico dos eixos; é um caso particular de esfera quando a = b = c. É uma superfície fechada com seções planas elípticas: qualquer plano que intersecta o elipsóide gera uma elipse, e o plano tangente produz um ponto degenerado.

Volume e superfície: o volume do elipsóide é V = 4/3 π a b c. A área de superfície, em oposição, não possui uma fórmula elementar geral; para elipsóides de revolução (quando dois semieixos são iguais) existem expressões fechadas, mas o caso geral envolve integrais elípticas.

Parametrização: uma forma comum de parametrizar o elipsóide é

x = a sinφ cosθ, y = b sinφ sinθ, z = c cosφ,

com φ variando entre 0 e π e θ entre 0 e 2π. Essa descrição computa a superfície por meio de dois parâmetros angulares.

Aplicações: elipsóides aparecem na modelagem de formas de planetas e astros, em engenharia e computação gráfica, bem como em problemas de física onde a geometria de corpos deformados é relevante.