eigenwaardenanalyse

Eigenwaardenanalyse onderzoekt de eigenschappen van een vierkante matrix of lineaire operator via de eigenwaarden en eigenvectoren. Een vector v is een eigenvector met bijbehorende eigenwaarde λ als Av = λv. Deze analyse vormt een fundamenteel onderdeel van lineaire algebra en heeft brede toepassingen in wiskunde, natuur- en ingenieurswetenschappen.

De set van alle eigenwaarden wordt bepaald door de karakteristieke polynoom p(λ) = det(A − λI). De eigenwaarden kunnen reëel of complex zijn; bij real matrices komen complexe waarden in conjugaatparen voor. De multipliciteit van een eigenwaarde kan algebraïsche en geometrische multipliciteit hebben. Als A diagonaaliseerbaar is, bestaat A = VΛV⁻¹ met kolommen van V als eigenvectoren en Λ als diagonaal met de eigenwaarden. Voor symmetrische matrices geldt bovendien dat A = QΛQᵀ met een orthogonale Q en reële Λ.

Niet-diagonalisabele matrices hebben mogelijk een Jordanvorming. In de praktijk worden numerieke berekeningen uitgevoerd met methoden zoals het QR-algoritme, power iteration, inverse iteration, Arnoldi en Jacobi-methoden. Bij het schatten van eigenwaarden is spectral gevoeligheid relevant: de condition number van de eigenvectoren geeft aan hoe gevoelig λ is voor veranderingen in A.

Interpretatie en toepassingen: eigenwaarden bepalen het lange-termijngedrag van lineaire dynamische systemen via de Jacobiaan; het reële deel geeft groeisnelheden of afname, het imaginaire deel duidt op oscillaties. In Markov-ketens levert een eigenwaarde van 1 de stationaire verdeling op. In hoofdcomponentenanalyse (PCA) leveren de eigenvectoren van de covariance-matrix de belangrijkste richtingen van variatie. In grafentheorie en mechanica geven eigenwaarden inzichten in verbindingen, stabiliteit en modaliteit.

Samenvatting: eigenwaardenanalyse vormt een kruispunt tussen algebra en toegepaste analyse en is essentieel voor modelleren en data-analyse.

---